Pertanyaan
Tanah seluas 10.000 m2 akan di bangun rumah tipe Anggrek dan tipe Melati. Untuk rumah tipe Anggrek diperlukan tanah seluas 100 m2dan tipe Melati diperlukan tanah seluas 75 m2. Jumlah rumah yang di bangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe Anggrek adalah Rp. 6.000.000,00 per unit dan tipe Melati Rp. 4.000.000,00 per unit. Jika rumah terjual semuanya, keuntungan maksimum yang di peroleh dari penjualan rumah tersebut adalah …
Jawaban
Jawaban soal di atas adalah Rp600.000.000,00.
Penjelasan:
Cermati pembahasan berikut ini.
Soal di atas dapat diselesaikan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.
Langkah-langkah optimasi dengan program linear:
1. Membuat model matematika.
2. Mencari titik batas grafik fungsi linear untuk menggambar grafik.
3. Melakukan uji titik untuk mencari daerah himpunan penyelesaian
Kita umpamakan banyak rumah tipe Anggrek sebagai x dan banyak rumah tipe Melati sebagai y. Sehingga, model matematika untuk soal di atas adalah:
100x + 75y ≤ 10.000 <=> 4x+3y ≤ 400
x + y ≤ 125
x≥0, y≥0
Nilai maksimum dari 6.000.000x + 4.000.000y
1. Mencari titik batas untuk dibuat grafik, pertidaksamaan diubah menjadi persamaan:
4x+3y = 400 dan x + y = 125
x = 0 untuk persamaan 4x+3y = 400
4(0) + 3y = 400
0 + 3y = 400
3y = 400
y = 400/3
y = 133,33
(x,y) = (0;133,33)
y = 0 untuk persamaan 4x + 3y = 400
4x + 3 (0) = 400
4x + 0 = 400
4x = 400
x = 400/4
x = 100
(x,y) = (100,0)
x = 0 untuk persamaan x + y = 125
0 + y = 125
y = 125
(x,y) = (0,125)
y = 0 untuk persamaan x + y = 125
x + 0 = 125
x = 125
(x,y) = (125,0)
2. Uji titik (1,1) untuk mengetahui daerah hasil penyelesaian dengan mensubstitusikan ke masing-masing pertidaksamaan.
Titik (1,1) pada pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400
4(1) + 3(1) ≤ 400
4 + 3 ≤ 400
7 ≤ 400 …benar
Maka, arsir daerah yang memuat titik (1,1).
Titik (1,1) pada pertidaksamaan x + y ≤ 125
1 + 1 ≤ 125
2 ≤ 125 …benar
Maka, arsir daerah yang memuat titik (1,1).
Ingat! Untuk kendala non negatif x≥0 dan y≥0 maka arsir daerah pada kuadran I.
Sehingga, daerah hasil penyelesaian digambarkan pada grafik di bawah ini dengan warna hijau.
3. Mencari titik perpotongan melalui perhitungan, pertidaksamaan diubah menjadi persamaan.
4x + 3y = 400 (i)
x + y = 125 (ii) atau dapat ditulis x = 125 – y
x = 125 – y disubstitusikan ke persamaan (i)
4x + 3y = 400
4(125 – y) + 3y = 400
500 – 4y + 3y = 400
500 – y = 400
-y = 400 – 500
-y = -100
y = 100
y = 100 disubstitusikan ke persamaan (ii)
x + y = 125
x + 100 = 125
x = 125 – 100
x = 25
Sehingga titik perpotongan antara dua persamaan adalah (x,y) = (25,100).
4. Mencari nilai maksimum dari persamaan 6.000.000x + 4.000.000y. Setelah melihat grafik, titik batas DHP berada pada titik (0,0), (0,125), (25,100), dan (100,0).
Titik (0,0) disubstitusikan ke persamaan 6.000.000x + 4.000.000y
6.000.000(0) + 4.000.000(0)
=0
Titik (0,125) disubstitusikan ke persamaan 6.000.000x + 4.000.000y
6.000.000(0) + 4.000.000(125)
= 0 + 500.000.000
= 500.000.000
Titik (25,100) disubstitusikan ke persamaan 6.000.000x + 4.000.000y
6.000.000(25) + 4.000.000(100)
= 150.000.000 + 400.000.000
= 550.000.000
Titik (100,0) disubstitusikan ke persamaan 6.000.000x + 4.000.000y
6.000.000(100) + 4.000.000(0)
= 600.000.000 + 0
= 600.000.000 (maksimum)
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah Rp600.000.000,00.